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    2009年全国中考数学压轴题精选精析(九)
  97.(2009年新疆乌鲁木齐)23.如图9,在矩形 中,已知 、 两点的坐标分别为 , 为 的中点.设点 是 平分线上的一个动点(不与点 重合).
  (1)试证明:无论点 运动到何处, 总与 相等;
  (2)当点 运动到与点 的距离最小时,试确定过 三点的抛物线的解析式;
  (3)设点 是(2)中所确定抛物线的顶点,当点 运动到何处时, 的周长最小?求出此时点 的坐标和 的周长;
  (4)设点 是矩形 的对称中心,是否存在点 ,使 ?若存在,请直接写出点 的坐标.
  (2009年新疆乌鲁木齐23题解析)解:(1)∵点 是 的中点,∴ ,∴ .
  又∵ 是 的角平分线,∴ ,
  ∴ ,∴ . 3分
  (2)过点 作 的平分线的垂线,垂足为 ,点 即为所求.
  易知点 的坐标为(2,2),故 ,作 ,
  ∵ 是等腰直角三角形,∴ ,
  ∴点 的坐标为(3,3).
  ∵抛物线经过原点,
  ∴设抛物线的解析式为 .
  又∵抛物线经过点 和点 ,
  ∴有   解得 
  ∴抛物线的解析式为 . 7分
  (3)由等腰直角三角形的对称性知D点关于 的平分线的对称点即为 点.
  连接 ,它与 的平分线的交点即为所求的 点(因为 ,而两点之间线段最短),此时 的周长最小.
  ∵抛物线 的顶点 的坐标 , 点的坐标 ,
  设 所在直线的解析式为 ,则有 ,解得 .
  ∴ 所在直线的解析式为 .
  点 满足 ,解得 ,故点 的坐标为 .
  的周长即是 .
  (4)存在点 ,使 .其坐标是 或 . 

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