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   高中数学复习专题讲座——数学归纳法的解题应用
  高考要求 
  数学归纳法是高考考查的重点内容之一   类比与猜想是应用数学归纳法所体现的比较突出的思想,抽象与概括,从特殊到一般是应用的一种主要思想方法  
  重难点归纳 
  (1)数学归纳法的基本形式
  设P(n)是关于自然数n的命题,若
  1°P(n0)成立(奠基)
  2°假设P(k)成立(k≥n0),可以推出P(k+1)成立(归纳),则P(n)对一切大于等于n0的自然数n都成立  
  (2)数学归纳法的应用
  具体常用数学归纳法证明   恒等式,不等式,数的整除性,几何中计算问题,数列的通项与和等  
  典型题例示范讲解 
  例1试证明   不论正数a、b、c是等差数列还是等比数列,当n>1,n∈N*且a、b、c互不相等时,均有   an+cn>2bn  
  命题意图   本题主要考查数学归纳法证明不等式  
  知识依托   等差数列、等比数列的性质及数学归纳法证明不等式的一般步骤  
  错解分析   应分别证明不等式对等比数列或等差数列均成立,不应只证明一种情况  
  技巧与方法   本题中使用到结论   (ak-ck)(a-c)>0恒成立(a、b、c为正数),从而ak+1+ck+1>ak•c+ck•a  
  证明   (1)设a、b、c为等比数列,a= ,c=bq(q>0且q≠1)
  ∴an+cn= +bnqn=bn( +qn)>2bn
  (2)设a、b、c为等差数列,
  则2b=a+c猜想 >( )n(n≥2且n∈N*)
  下面用数学归纳法证明  
  ①当n=2时,由2(a2+c2)>(a+c)2,∴
  ②设n=k时成立,即
  则当n=k+1时,  (ak+1+ck+1+ak+1+ck+1)
  > (ak+1+ck+1+ak•c+ck•a)= (ak+ck)(a+c)
  >( )k•( )=( )k+1
  也就是说,等式对n=k+1也成立  
  由①②知,an+cn>2bn对一切自然数n均成立  
  例2在数列{an}中,a1=1,当n≥2时,an,Sn,Sn- 成等比数列  
  (1)求a2,a3,a4,并推出an的表达式;
  (2)用数学归纳法证明所得的结论;
  (3)求数列{an}所有项的和  
  命题意图   本题考查了数列、数学归纳法、数列极限等基础知识  
  知识依托   等比数列的性质及数学归纳法的一般步骤   采用的方法是归纳、猜想、证明  
  错解分析   (2)中,Sk=- 应舍去,这一点往往容易被忽视  
  技巧与方法   求通项可证明{ }是以{ }为首项, 为公差的等差数列,进而求得通项公式  
  解   ∵an,Sn,Sn- 成等比数列,
  ∴Sn2=an•(Sn- )(n≥2)                       (*)
  (1)由a1=1,S2=a1+a2=1+a2,代入(*)式得:a2=-
  由a1=1,a2=- ,S3= +a3代入(*)式得   a3=-
  同理可得   a4=- ,由此可推出   an=
  (2)①当n=1,2,3,4时,由(*)知猜想成立  
  ②假设n=k(k≥2)时,ak=- 成立
  故Sk2=- •(Sk- )
  ∴(2k-3)(2k-1)Sk2+2Sk-1=0
  ∴Sk=  (舍)
  由Sk+12=ak+1•(Sk+1- ),得(Sk+ak+1)2=ak+1(ak+1+Sk- )

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