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  中考数学压轴题大集合(二)
  17.(2005浙江台州)如图,在平面直角坐标系内,⊙C与y轴相切于D
  点,与x轴相交于A(2,0)、B(8,0)两点,圆心C在第四象限.
  (1)求点C的坐标;
  (2)连结BC并延长交⊙C于另一点E,若线段BE上有一点P,使得
  AB2=BP·BE,能否推出AP⊥BE?请给出你的结论,并说明理由;
  (3)在直线BE上是否存在点Q,使得AQ2=BQ·EQ?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,也请说明理由.
  [解] (1) C(5,-4);
  (2)能。连结AE ,∵BE是⊙O的直径, ∴∠BAE=90°.
  在△ABE与△PBA中,AB2=BP· BE , 即, 又∠ABE= ∠PBA,
  ∴△ABE∽△PBA .
  ∴∠BPA=∠BAE=90°,  即AP⊥BE .
  (3)分析:假设在直线EB上存在点Q,使AQ2=BQ· EQ. Q点位置有三种情况:
  ①若三条线段有两条等长,则三条均等长,于是容易知点C即点Q;
  ②若无两条等长,且点Q在线段EB上,由Rt△EBA中的射影定理知点Q即为AQ⊥EB之垂足;
  ③若无两条等长,且当点Q在线段EB外,由条件想到切割线定理,知QA切⊙C于点A.设Q(),并过点Q作QR⊥x轴于点R,由相似三角形性质、切割线定理、勾股定理、三角函数或直线解析式等可得多种解法.
  解题过程:
  ① 当点Q1与C重合时,AQ1=Q1B=Q1E, 显然有AQ12=BQ1· EQ1 ,
  ∴Q1(5, -4)符合题意;
  ② 当Q2点在线段EB上, ∵△ABE中,∠BAE=90°
  ∴点Q2为AQ2在BE上的垂足,
  ∴AQ2== 4.8(或).
  ∴Q2点的横坐标是2+ AQ2·∠BAQ2= 2+3.84=5.84,
  又由AQ2·∠BAQ2=2.88,
  ∴点Q2(5.84,-2.88), 
  ③方法一:若符合题意的点Q3在线段EB外,
  则可得点Q3为过点A的⊙C的切线与直线BE在第一象限的交点.
  由Rt△Q3BR∽Rt△EBA,△EBA的三边长分别为6、8、10,
  故不妨设BR=3t,RQ3=4t,BQ3=5t, 
  由Rt△ARQ3∽Rt△EAB得,
  即得t=,
  〖注:此处也可由列得方程; 或由AQ32 = Q3B·Q3E=Q3R2+AR2列得方程)等等〗
  ∴Q3点的横坐标为8+3t=, Q3点的纵坐标为,
  即Q3(,).
  方法二:如上所设与添辅助线, 直线 BE过B(8, 0), C(5, -4), 
  ∴直线BE的解析式是 .
  设Q3(,),过点Q3作Q3R⊥x轴于点R,
  ∵易证∠Q3AR =∠AEB得 Rt△AQ3R∽Rt△EAB, 
  ∴ ,  即  ,
  ∴t= ,进而点Q3 的纵坐标为,∴Q3(,). 
  方法三:若符合题意的点Q3在线段EB外,连结Q3A并延长交轴于F,
  ∴∠Q3AB =∠Q3EA,,
  在R t△OAF中有OF=2×=,点F的坐标为(0,),

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