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  专题五 利用空间向量求线面角
  斜线的方向向量与平面的法向量的夹角要利用直角三角形才转化为斜线与平面的夹角
  设直线l与平面α的夹角为θ,直线l的方向向量l与平面α的法向量n的夹角为β,
  则θ=π2-β(或θ=β-π2),故有sinθ=|cosβ|=|l•n||l||n|.
  例1 已知三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,AB⊥AC,PA=AC=12AB,N为AB上一点,AB=4AN,M,S分别为PB,BC的中点.
  求SN与平面CMN所成角的大小.
  解析: 设PA=1,以A为原点,射线AB,AC,AP分别为x轴,y轴,z轴正半轴建立空间直角坐标系如图.
  则P(0,0,1),C(0,1,0),B(2,0,0),
  M1,0,12,N12,0,0,S1,12,0.
  NC→=-12,1,0,设a=(x,y,z)为平面CMN的法向量,
  则x-y+12z=0,-12x+y=0.
  令x=2,得a=(2,1,-2),
  所以|cos〈a,SN→〉|=-1-123×22=22,
  故SN与平面CMN所成角的大小为45°.
  (巩固训练)如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥PD,PA=PD,AB⊥AD,AB=1,AD=2,AC=CD=5.
  求直线PB与平面PCD所成角的正弦值;
  解析: 取AD中点O,连接CO,PO,∵PA=PD,∴PO⊥AD.
  又∵PO⊂平面PAD,平面PAD⊥平面ABCD,
  ∴PO⊥平面ABCD,∵CO⊂平面ABCD,∴PO⊥CO,
  ∵AC=CD,∴CO⊥AD.

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