约4400字。

  专题四 圆锥曲线的定值与定点问题
  解答圆锥曲线中的定值(定点)问题时,首先要明确哪些量是固定的,哪些量是变动的,选择其中一个或几个起关键作用的量作为参数,以参数来表示需要研究定值(定点)的量,看是否能消去参数得到定值(定点)即可.
  例1设椭圆E:x2a2+y21-a2=1的焦点在x轴上.
  (1)若椭圆E的焦距为1,求椭圆E的方程;
  (2)设F1,F2分别是椭圆E的左,右焦点,P为椭圆E上第一象限内的点,直线F2P交y轴于点Q,并且F1P⊥F1Q.证明:当a变化时,点P在某定直线上.
  解析 (1)因为焦距为1,所以2a2-1=14 ,解得a2=58. 故椭圆E的方程为8x25+8y23=1.
  (2)设P(x0,y0),F1(-c,0),F2(c,0),其中c=2a2-1
  由题设知x0≠c,则直线F1P的斜率k F1P =y0x0+c ,
  直线F2P的斜率k F2P =y0x0-c .故直线F2P的方程为y=y0x0-c (x-c).
  当x=0时,y=cy0c-x0 ,即点Q的坐标为(0,cy0c-x0 ).
  因此,直线F1Q的斜率为k F1Q =y0c-x0 .
  由于F1P⊥F1Q,所以k F1P k F1Q =y0c-x0 y0x0+c =-1.
  化简得y20=x20 -(2a2-1).①
  将①代入椭圆E的方程,由于点P(x0,y0)在第一象限,
  解得x0=a2,y0=1-a2,即点P在定直线x+y=1上.
  (巩固训练)已知动圆C过定点(1,0),且与直线x=-1相切.
  (1)求动圆圆心C的轨迹方程;
  (2)设A、B是轨迹C上异于原点O的两个不同点,直线OA和OB的倾斜角分别为α和β,当tan α•tan β=1时,求证直线AB恒过一定点M,并求M坐标.
  解析: (1)设动圆圆心M(x,y),依题意点M的轨迹是以(1,0)为焦点,直线x=-1为准线的抛物线,其方程为y2=4x.
  (2)设A(x1,y1),B(x2,y2),
  由题意得x1≠x2且x1x2≠0,则x1=y214,x2=y224,
  所以直线AB的斜率存在,设直线AB的方程为y=kx+b,
  则将y=kx+b与y2=4x联立消去x,得ky2-4y+4b=0.
  由根与系数关系得y1+y2=4k,y1y2=4bk,
  因为tan α•tan β=1,所以y1x1•y2x2=1,x1x2-y1y2=0,
  解得y1y2=16,又y1y2=4bk所以b=4k;
  因此直线AB的方程可表示为y=kx+4k,
  所以直线AB恒过定点M(-4,0).
  例2.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的长轴长为4,焦距为22.
  (1)求椭圆C的方程;
  (2)过动点M(0,m)(m>0)的直线交x轴于点N,交C于点A,P(P在第一象限),且M是线段PN的中点.过点P作x轴的垂线交C于另一点Q,延长QM交C于点B.
  ①设直线PM、QM的斜率分别为k、k′,证明k′k为定值.
  ②求直线AB的斜率的最小值.
  解析:(1) 设椭圆的半焦距为c.
  由题意知2a=4,2c=22.
  所以a=2,b=a2-c2=2.
  所以椭圆C的方程为x24+y22=1.
  (2)①证明 设P(x0,y0)(x0>0,y0>0).
  由M(0,m),可得P(x0,2m),Q(x0,-2m).
  所以直线PM的斜率k=2m-mx0=mx0.
  直线QM的斜率k′=-2m-mx0=-3mx0.
  此时k′k=-3.所以k′k为定值-3.
  ②解 设A(x1,y1),B(x2,y2).
  直线PA的方程为y=kx+m.
  直线QB的方程为y=-3kx+m.联立y=kx+m,x24+y22=1,
  整理得(2k2+1)x2+4mkx+2m2-4=0,
  由x0x1=2m2-42k2+1,可得x1=2(m2-2)(2k2+1)x0,
  所以y1=kx1+m=2k(m2-2)(2k2+1)x0+m.
  同理x2=2(m2-2)(18k2+1)x0,y2=-6k(m2-2)(18k2+1)x0+m.
  所以x2-x1=2(m2-2)(18k2+1)x0-2(m2-2)(2k2+1)x0
  =-32k2(m2-2)(18k2+1)(2k2+1)x0,
  y2-y1=-6k(m2-2)(18k2+1)x0+m-2k(m2-2)(2k2+1)x0-m
  =-8k(6k2+1)(m2-2)(18k2+1)(2k2+1)x0,

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