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  专题五  立体几何
  A基础知识
  一、几何元素
  1.七种常用几何体;表面积、体积;直观图、三视图、侧面展开图:表面距离, 截面周长最小值
  2.点、线、面的4公理4个推论,8种关系(树形图),24个定理和定义(含平行与垂直互化4、三垂线定理)
  //  其它 夹角 距离
  线线 m//n:定义、判定、性质 mn(相交或异面):定义、判定、性质 异面直线 异面直线夹角
  线面 m//:定义、判定、性质 m:定义、判定、性质 m或斜交 线面夹角
  面面 //:定义、判定、性质 :定义、判定、性质 二面角 二面角平面角
  考证明 考计算
  定理23  (三垂线定理)若a为平面的一条斜线,b为a在平面内的射影,c为平面内的一条直线,若c b,则c a.逆定理:若c a,则c b.
  定理24  (祖暅原理)夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意平面所截,如果截得的两个截面的面积总相等,那么这两个几何体的体积相等.
  3.几何问题:
  ①几何体的概念、性质、几何元素关系;②证明平行关系、证明垂直关系
  ③求空间角大小、空间距离、表面积、体积、三视图的直观图
  二、化归思想
  (1)几何关系互化:三种平行关系互化、三种垂直关系互化、平行与垂直互化(利用向量、法向量判断关系)
  公理3截面问题、三线共点、三点共线
  (2)立体图形平面化
  ①空间距离平面化:
  距离 点 线 面
  点 三角法、距离公式、(闭折线)向量法
  线 距离公式、等面积法、向量投影法 平行:化为点线距
  异面:找公垂线段、坐标法代数求最值 化为点面
  面 等体积法、向量投影法 化为点面
  ②空间角平面化:
  异面直线夹角:平移法、向量法
  线面所成角:射影法(求点面距,利用定义)、向量法
  二面角:定义法、三垂法、垂面法、平行法、向量+定义法,法向量法
  ③利用特殊面把空间图形平面化
  旋转体与多面体包含关系:圆锥内接正方体、球内接三棱柱、半球内接正方体、正三棱柱内切球等
  ④展开图:几何体表面积、几何体的表面距离(三掕锥、长方体、纸杯外到内---爬虫最短路程)
  【例1】在四面体P—ABC中,PA=PB=PC=2,∠APB=∠BPC=∠APC=30°,一只蚂蚁从A点出发沿着四面体的侧面绕一周,再回到A点。问:蚂蚁沿着怎样的路径爬行时路程最短,最短路程是多少?22
  (3)综合图形基本化(构建基本图形衬托主体)
  基本图形:正方体、长方体、平行六面体与四面体、正棱锥、正棱柱
  射影平面(三垂线图形、线面夹角的平面)、轴截面、对角面AA1C1C、二面角的平面角
  常用方法:射影法、补形法、割出局部(局部与整体、去伪存真)、移出局部平面图形+三角法
  【例2】设P,A,B,C是球O表面上的四个点,PA、PB、PC两两垂直,且PA=PB=PC=1,求球的体积和表面积.
  【例3】(2014全国I-1)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的各条棱中,最长的棱的长度为(  B )A.       B.       C.        D.
  变式:(2015云南师大附中-1)一个几何体的三视图如图,其中侧(左)视图和俯视图都是腰长为2 的等腰直角三角形,则几何体的体积的大小为( C  )A.3     B.4     C.1    D.2
  【例4】(2013安徽-3)如图,圆锥顶点为P,底面圆心为O,其母线与底面所成的角为22.5°。AB和CD是底面圆O上的两条平行的弦,轴OP与平面PCD所成的角为60°,(Ⅰ)证明:平面PAB与平面PCD的交线平行于底面;(II)求 。17-122
  (4)复杂图形分解与组合
  【例5】(1999全国-5)如图,在多面体ABCDEF中,已知面ABCD是边长为

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