约11610字。

  第2讲 椭圆、双曲线、抛物线
  高考定位 1.圆锥曲线的方程与几何性质是高考的重点,多以选择题、填空题或解答题的一问的形式命题;2直线与圆锥曲线的位置关系是命题的热点,尤其是有关弦长计算及存在性问题,运算量大,能力要求高,突出方程思想、转化化归与分类讨论思想方法的考查.
  真 题 感 悟
  1.(2018•全国Ⅱ卷)双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为3,则其渐近线方程为(  )
  A.y=±2x  B.y=±3x
  C.y=±22x  D.y=±32x
  解析 法一 由题意知,e=ca=3,所以c=3a,所以b=c2-a2=2a,即ba=2,所以该双曲线的渐近线方程为y=±bax=±2x.
  法二 由e=ca=1+ba2=3,得ba=2,所以该双曲线的渐近线方程为y=±bax=±2x.
  答案 A
  2.(2018•全国Ⅰ卷)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点(-2,0)且斜率为23的直线与C交于M,N两点,则FM→•FN→=(  )
  A.5  B.6  C.7  D.8
  解析 过点(-2,0)且斜率为23的直线的方程为y=23(x+2),由y=23(x+2),y2=4x,得x2-5x+4=0.设M(x1,y1),N(x2,y2),则y1>0,y2>0,根据根与系数的关系,得x1+x2=5,x1x2=4.易知F(1,0),所以FM→=(x1-1,y1),FN→=(x2-1,y2),所以FM→•FN→=(x1-1)(x2-1)+y1y2=x1x2-(x1+x2)+1+4x1x2=4-5+1+8=8.
  答案 D
  3.(2018•全国Ⅱ卷)已知F1,F2是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,A是C的左顶点,点P在过A且斜率为36的直线上,△PF1F2为等腰三角形,∠F1F2P=120°,则C的离心率为(  )
  A.23  B.12  C.13  D.14
  解析 由题意可知椭圆的焦点在x轴上,如图所示,设|F1F2|=2c,∵△PF1F2为等腰三角形,且∠F1F2P=120°,
  ∴|PF2|=|F1F2|=2c.
  ∵|OF2|=c,过P作PE垂直x轴,则∠PF2E=60°,所以F2E=c,PE=3c,即点P(2c,3c).∵点P在过点A,且斜率为36的直线上,∴3c2c+a=36,解得ca=14,∴e=14.
  答案 D
  4.(2018•全国Ⅰ卷)设椭圆C:x22+y2=1的右焦点为F,过F的直线l与C交于A,B两点,点M的坐标为(2,0).
  (1)当l与x轴垂直时,求直线AM的方程;
  (2)设O为坐标原点,证明:∠OMA=∠OMB.
  (1)解 由已知得F(1,0),l的方程为x=1.
  把x=1代入椭圆方程x22+y2=1,可得点A的坐标为1,22或1,-22.
  又M(2,0),所以AM的方程为y=-22x+2或y=22x-2.
  (2)证明 当l与x轴重合时,∠OMA=∠OMB=0°.
  当l与x轴垂直时,OM为AB的垂直平分线,
  所以∠OMA=∠OMB.
  当l与x轴不重合也不垂直时,
  设l的方程为y=k(x-1)(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),
  则x1<2,x2<2,直线MA,MB的斜率之和为kMA+kMB=y1x1-2+y2x2-2.
  由y1=k(x1-1),y2=k(x2-1)得
  kMA+kMB=2kx1x2-3k(x1+x2)+4k(x1-2)(x2-2).
  将y=k(x-1)代入x22+y2=1得
  (2k2+1)x2-4k2x+2k2-2=0.
  所以,x1+x2=4k22k2+1,x1x2=2k2-22k2+1.
  则2kx1x2-3k(x1+x2)+4k=4k3-4k-12k3+8k3+4k2k2+1=0.
  从而kMA+kMB=0,故MA,MB的倾斜角互补.

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