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  第1讲 三角函数的图象与性质
  高考定位 三角函数的图象与性质是高考考查的重点和热点内容,主要从以下两个方面进行考查:1.三角函数的图象,涉及图象变换问题以及由图象确定解析式问题,主要以选择题、填空题的形式考查;2.利用三角函数的性质求解三角函数的值、参数、最值、值域、单调区间等,主要以解答题的形式考查.
  真 题 感 悟
  1.(2018•全国Ⅰ卷)已知角α的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边上有两点A(1,a),B(2,b),且cos 2α=23,则|a-b|=(  )
  A.15  B.55  C.255  D.1
  解析 由题意知cos α>0.因为cos 2α=2cos2α-1=23,所以cos α=306,sin α=±66,得|tan α|=55.由题意知|tan α|=a-b1-2,所以|a-b|=55.
  答案 B
  2.(2017•全国Ⅲ卷)设函数f(x)=cosx+π3,则下列结论错误的是(  )
  A.f(x)的一个周期为-2π 
  B.y=f(x)的图象关于直线x=8π3对称
  C.f(x+π)的一个零点为x=π6 
  D.f(x)在π2,π单调递减
  解析 A项,因为f(x)的周期为2kπ(k∈Z且k≠0),所以f(x)的一个周期为-2π,A项正确.
  B项,因为f(x)图象的对称轴为直线x=kπ-π3(k∈=3时,直线x=8π3是其对称轴,B项正确.
  C项,f(x+π)=cosx+4π3,将x=π6代入得到f7π6=cos3π2=0,所以x=π6是f(x+π)的一个零点,C项正确.
  D项,因为f(x)=cosx+π3的递减区间为2kπ-π3,2kπ+2π3 (k∈Z),递增区间为2kπ+2π3,2kπ+5π3 (k∈Z),所以π2,2π3是减区间,2π3,π是增区间,D项错误.
  答案 D
  3.(2018•全国Ⅰ卷)已知函数f(x)=2cos2x-sin2x+2,则(  )
  A.f(x)的最小正周期为π,最大值为3
  B.f(x)的最小正周期为π,最大值为4
  C.f(x)的最小正周期为2π,最大值为3
  D.f(x)的最小正周期为2π,最大值为4
  解析 易知f(x)=2cos2x-sin2x+2=3cos2x+1=3cos 2x+12+1=32cos 2x+52,则f(x)的最小正周期为π,当2x=2kπ,即x=kπ(k∈Z)时,f(x)取得最大值,最大值为4.
  答案 B
  4.(2018•全国Ⅱ卷)若f(x)=cos x-sin x在[-a,a]是减函数,则a的最大值是(  )
  A.π4  B.π2  C.3π4  D.π
  解析 f(x)=cos x-sin x=2cosx+π4,且函数y=cos x在区间[0,π]上单调递减,则由0≤x+π4≤π,得-π4≤x≤3π4.因为f(x)在[-a,a]上是减函数,所以-a≥-π4,a≤3π4,解得a≤π4,所以0<a≤π4,所以a的最大值是π4.
  答案 A
  考 点 整 合
  1.常用三种函数的图象与性质(下表中k∈Z)
  函数 y=sin x y=cos x y=tan x
  图象
  递增
  区间 2kπ-π2,2kπ+π2
  [2kπ-π,2kπ] kπ-π2,kπ+π2
  递减
  区间 2kπ+π2,2kπ+3π2
  [2kπ,2kπ+π]
  奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数

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