约14320字。

  第3讲 立体几何中的向量方法
  高考定位 以空间几何体为载体考查空间角是高考命题的重点,常与空间线面关系的证明相结合,热点为二面角的求解,均以解答题的形式进行考查,难度主要体现在建立空间直角坐标系和准确计算上.
  真 题 感 悟
  1.(2017•全国Ⅱ卷)已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=120°,AB=2,BC=CC1=1,则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为(  )
  A.32  B.155  C.105  D.33
  解析 法一 以B为原点,建立如图(1)所示的空间直角坐标系.
  图(1)           图(2)
  则B(0,0,0),B1(0,0,1),C1(1,0,1).
  又在△ABC中,∠ABC=120°,AB=2,则A(-1,3,0).
  所以AB1→=(1,-3,1),BC1→=(1,0,1),
  则cos〈AB1→,BC1→〉=AB1→•BC1→|AB1→|•|BC1→|
  =(1,-3,1)•(1,0,1)5×2=25×2=105,
  因此,异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为105.
  法二 如图(2),设M,N,P分别为AB,BB1,B1C1中点,则PN∥BC1,MN∥AB1,
  ∴AB1与BC1所成的角是∠MNP或其补角.
  ∵AB=2,BC=CC1=1,
  ∴MN=12AB1=52,NP=12BC1=22.
  取BC的中点Q,连接PQ,MQ,则可知△PQM为直角三角形,且PQ=1,MQ=12AC,
  在△ABC中,AC2=AB2+BC2-2AB•BC•cos∠ABC
  =4+1-2×2×1×-12=7,AC=7,
  则MQ=72,则△MQP中,MP=MQ2+PQ2=112,
  则△PMN中,cos∠PNM=MN2+NP2-PM22•MN•NP
  =522+222-11222×52×22=-105,
  又异面直线所成角范围为0,π2,则余弦值为105.
  答案 C
  2.(2018•全国Ⅲ卷)如图,边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧CD︵所在平面垂直,M是CD︵上异于C,D的点.
  (1)证明:平面AMD⊥平面BMC;
  (2)当三棱锥M-ABC体积最大时,求平面MAB与平面MCD所成二面角的正弦值.
  (1)证明 由题设知,平面CMD⊥平面ABCD,交线为CD.
  因为BC⊥CD,BC⊂平面ABCD,
  所以BC⊥平面CMD,又DM⊂平面CDM,故BC⊥DM.
  因为M为CD︵上异于C,D的点,且DC为直径,
  所以DM⊥CM.
  又BC∩CM=C,所以DM⊥平面BMC.
  由于DM⊂平面AMD,故平面AMD⊥平面BMC.

欢迎关注育星网公众号“ht88yxw”获取更多信息与服务

相关资源:
Top