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  第5讲 导数的综合应用与热点问题
  高考定位 在高考压轴题中,函数与方程、不等式的交汇是考查的热点,常以含指数函数、对数函数为载体考查函数的零点(方程的根)、比较大小、不等式证明、不等式恒成立与能成立问题.
  真 题 感 悟
  1.(2018•全国Ⅱ卷)已知函数f(x)=ex-ax2.
  (1)若a=1,证明:当x≥0时,f(x)≥1;
  (2)若f(x)在(0,+∞)只有一个零点,求a.
  (1)证明 当a=1时,f(x)=ex-x2,则f′(x)=ex-2x.
  令g(x)=f′(x),则g′(x)=ex-2.
  令g′(x)=0,解得x=ln 2.
  当x∈(0,ln 2)时,g′(x)<0;
  当x∈(ln 2,+∞)时,g′(x)>0.
  ∴当x≥0时,g(x)≥g(ln 2)=2-2ln 2>0,
  ∴f(x)在[0,+∞)上单调递增,∴f(x)≥f(0)=1.
  (2)解 若f(x)在(0,+∞)上只有一个零点,即方程ex-ax2=0在(0,+∞)上只有一个解,
  由a=exx2,令φ(x)=exx2,x∈(0,+∞),
  φ′(x)=ex(x-2)x3,令φ′(x)=0,解得x=2.
  当x∈(0,2)时,φ′(x)<0;
  当x∈(2,+∞)时,φ′(x)>0.
  ∴φ(x)min=φ(2)=e24.∴a=e24.
  2.(2017•全国Ⅱ卷)已知函数f(x)=ax2-ax-xln x,且f(x)≥0.
  (1)求a;
  (2)证明:f(x)存在唯一的极大值点x0,且e-2<f(x0)<2-2.
  (1)解 f(x)的定义域为(0,+∞),
  设g(x)=ax-a-ln x,
  则f(x)=xg(x),f(x)≥0等价于g(x)≥0,
  因为g(1)=0,g(x)≥0,故g′(1)=0,
  而g′(x)=a-1x,g′(1)=a-1,得a=1.
  若a=1,则g′(x)=1-1x.
  当0<x<1时,g′(x)<0,g(x)单调递减;
  当x>1时,g′(x)>0,g(x)单调递增,
  所以x=1是g(x)的极小值点,故g(x)≥g(1)=0.
  综上,a=1.
  (2)证明 由(1)知f(x)=x2-x-xln x,f′(x)=2x-2-ln x,
  设h(x)=2x-2-ln x,则h′(x)=2-1x.
  当x∈0,12时,h′(x)<0;
  当x∈12,+∞时,h′(x)>0.
  所以h(x)在0,12单调递减,在12,+∞单调递增.
  又h(e-2)>0,h12<0,h(1)=0,
  所以h(x)在0,12有唯一零点x0,在12,+∞有唯一零点1,且当x∈(0,x0)时,h(x)>0;当x∈(x0,1)时,h(x)<0;当x∈(1,+∞)时,h(x)>0.
  因为f′(x)=h(x),
  所以x=x0是f(x)的唯一极大值点.
  由f′(x0)=0得ln x0=2(x0-1),
  故f(x0)=x0(1-x0).
  由x0∈0,12得f(x0)<14.
  因为x=x0是f(x)在(0,1)的最大值点,
  由e-1∈(0,1),f′(e-1)≠0得f(x0)>f(e-1)=e-2.
  所以e-2<f(x0)<2-2.
  考 点 整 合
  1.利用导数研究函数的零点
  函数的零点、方程的实根、函数图象与x轴的交点的横坐标是三个等价的概念,解决这类问题可以通过函数的单调性、极值与最值,画出函数图象的变化趋势,数形结合求解.
  2.三次函数的零点分布
  三次函数在存在两个极值点的情况下,由于当x→∞时,函数值也趋向∞,只要按照极值与零的大小关系确定其零点的个数即可.存在两个极值点x1,x2且x1<x2的函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的零点分布情况如下:
  a的符号 零点个数 充要条件

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