《清北名师竞赛精讲及高考选讲——代数与函数》教案

　　约1690字 清北名师代数与函数竞赛精讲及高考选讲
　　【内容综述】
　　函数是数学上的一个基本而又重要的概念，在现代数学中，它几乎渗透到各个分支中。
　　函数的性质主要指函数的奇偶性、对称性、单调性和周期性。
　　函数图象的对称性反映了函数图象的局部与整体的关系，恰当地运用函数的对称性，往往可使问题简化。函数的奇偶性是对称性中最重要的特殊情形。
　　函数的单调性可用函数值的比较给出证明，利用函数的单调性，可以比较实数的大小，证明一些不等式和确定某些函数的值域及最值。
　　设f是D上的函数，如果存在常数T≠0，使得对每个x∈D，都有f(x+T)=f(x-T)=f(x)成立，则称f(x)为周期函数，T为f(x)的一个周期，如果f(x)的所有正周期中存在最小值 ，称 为周期函数f(x)的最小正周期，一般说函数的周期都是指最小正周期。
　　【例题精讲】
　　例1 已知函数y=f(x)(x∈R，且x≠0)，对任意非零实数 都有 ，试判定f(x)的奇偶性。
　　分析：欲判别f(x)的奇偶性，即找出f(-x)与f(x)之间的关系，可令 ，为此必求出f(-1)，而求f(-1)，又可令 ， ，为此又必先求出f(1)，而f(1)不难求得。
　　解：令 ，则f(1)=2f(1)，所以f(1)=0。
　　令 ， ，则f(1)=f(-1)+f(-1)，所以f(-1)=0。
　　于是，在已知等式中，以-1，x分别代替 ，则f(-x)=f(-1)+f(x)，即f(-x)=f(x)，故f(x)为偶函数。
　　说明 在以抽象的函数等为条件的问题中，常常先考虑x取0，-1，1等的特殊值，再利用f(0)，f(±1)的值来研究函数f(x)的性质。例2 设a是大于0的实数，f(x)是定义在全体实数R上的一个实函数，并且对每一实数x满足条件： 
　　1．试证明：函数f(x)是周期函数，也就是，存在一个实数b＞0，使得对每一x都有f(x+b)=f(x)。
　　2．就a=1举出一个这种函数f(x)的例子，但f(x)不能是常数。
　　分析  这是一道探索存在性的问题，题中给出的已知条件只有唯一的一个含有a的方程，直觉告诉我们，f(x)的周期定与a有关，于是，我们可从原方程出发，边递推边探索。
　　解:(1)由  ①